ζ༼Ɵ͆ل͜Ɵ͆༽ᶘ

О гипотезе Коллатца

5 комментов
21.07.2021
3 мин чтения

Это одна из проблем с настолько простой формулировкой, что, казалось бы, никаких сложностей в ней нет. Однако этот «орешек» особенный. Даже Теренс Тао (один из сильнейших математиков мира на момент написания статьи, если не самый сильный) не смог доказать гипотезу Коллатца полностью. И путями он действовал окольными – через кучу статистических методов доказывал, что «орбиты чисел почти ограничены».

Кому интересно: https://arxiv.org/pdf/1909.03562.pdf

ДИСКЛАЙМЕР: Автор не является профессиональным математиком и будет благодарен любой конструктивной критике. Все сделанные мной предположения скорее интуитивны, чем подтверждены какими-либо фактами.

Сразу же возникает вопрос: а чего это я взялся за такую невозможно сложную проблему? На самом деле, я с ней поигрался и получил необъяснимые результаты. Поэтому буду рад с вами поделиться.

Сначала более четко сформулируем функцию Коллатца:

\(C(x)=\begin{cases}\frac{x}{2}, x - четное\\3x+1, x - нечетное\end{cases}\)

Если её нарисовать, то мы получим следующее:

Но у нас-то не просто функция – у нас последовательность чисел. Хммм…Как же изобразить её? А давайте-ка нарисуем прямую  y=x:

Заметим, что на этой голубой прямой координаты точек по X равны координатам точек по Y. Пусть на графике функции есть стартовая точка (𝑥0;𝑦(𝑥0)):

Чтобы попасть из неё в следующую точку, снесём горизонтально её координату по Y до пересечения с прямой y = x, а затем снесём вертикально координату пересечения по X до пересечения с функцией:

Смысл этой операции в том, что предыдущий Y становится новым X. По сути, мы сейчас взяли C(C(x)) . Прошу Вас внимательно перечитать предыдущую фразу и удостовериться, что Вы её понимаете.

А теперь позволим последовательности «добраться» до единицы (на каждом шаге проделываем точно такие же действия):

.Вот здесь я и столкнулся с первыми необычными вещами. Если для числа 8 (а график выше изображает именно его последовательность) всё относительно несложно, то с семёркой происходит нечто невообразимое:

*, это что ещё такое? Какие-то «спирали» …Правда, я никак не смог придумать им хоть сколько-нибудь разумное применение. «Спирали» должны были навеять идею о поведении функции, но всё случилось по-другому.

Пришла намного более безумная идея – закодировать все числа в троичной системе. Да, Вы не очитались. Я хочу их закодировать. Принцип следующий:

Обозначим 1-ей действие \(\frac{x}{2}, x - четное\)

Обозначим 2-кой действие \(3x+1, x - нечетное\)

И теперь «соберём» число в порядке применения этих действий к начальному значению. Например, было число 8. Его последовательность такова: 8 – 4 – 2 – 1. Значит, его я закодирую как 1111 (четыре раза подряд совершено первое действие). Для числа 5: 5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1. Оно закодируется как 21111. Теперь я беру логарифм по основанию 3 от десятичного представления этого троичного числа. Это связано с тем, что числа быстро становятся большими, а логарифм, как настоящий волшебник, превращает экспоненциальные зависимости в линейные.

Нарисуем зависимость таких представлений от начальных значений:

Можно заметить какие-то повторения структур. Что-то прекрасное есть в этом графике. Сейчас я Вам даже покажу – что можно накопать. Возьмём и ни с того ни с сего заменим действие \(3x+1, если x - нечетное\) на \(x+1, если x - нечетное\). И что же мы видим:

Вот где чётко видно некую стабильность. Оказалось, что число этих «пиков» в наборе равно числу k, на которое мы делим действием x/k, если x делится на k.

Как это строго доказать, я не знаю. Вернёмся к этому графику:

На самом деле, его лучше видно в точечном виде:

Каким-то Макаром из логарфмирования троично закодированных чисел у нас получилось ТОЧЬ-В-ТОЧЬ распределение числа итераций до достижения единицы. Посмотрите википедию:

Остаётся повторить знаменитые слова Сократа: я знаю только то, что ничего не знаю.

6
Сегодня
День улёта