ζ༼Ɵ͆ل͜Ɵ͆༽ᶘ

Изображение последовательностей

0 комментов
21.02.2021
2 мин чтения

Познакомьтесь, это \(y(x)=\sqrt{x}\). Он немного стесняется своих отрицательных сторон, но всё равно разрешил на себя посмотреть:

Статья посвящена последовательностям. Последовательность – это набор чисел, которому можно поставить в соответствие набор натуральных (1,2,3,4,…) чисел. Через \(y_{n}\)  я буду обозначать n-ый член последовательности (то есть n-ое число в ней). Пусть первый член последовательности равен \(y(x_{0})\)  и каждый последующий зависит от предыдущего по закону:

\(y_{n+1}=y(y_{n})\)

То есть, чтобы получить следующий член, мы берём заданную функцию от текущего.

Сейчас наша последовательность определена формулой и не очень-то понятно, как она себя ведёт. Поэтому сейчас мы вместе с вами найдём графический метод для изображения последовательности. Можно, конечно, построить график зависимости \(y_{n}\)  от n. Но моя цель – показать связь членов последовательности с заданной функцией.

Поэтому начнём с простого. Пусть   \(y(x)=\sqrt{x}; x_{0}=9\) Вот стартовая точка \((x_{0};y(x_{0}))\)  на графике:

Теперь ключевой момент. Если я беру функцию от текущего члена, то значение этого члена становится аргументом функции. То есть, координата по x следующей точки будет равна координате по y предыдущей. И графически это выглядит так:

Похоже, что значения членов устремляются к числу 1. Но почему же именно к нему? А давайте-ка проведём прямую \(y(x)=x\):

Ага! То есть в этой точке \(\sqrt{x}=x\). Хмммм. А как выглядит n-ый член?

\(y_{n}=y(y(..y(x_{0})..))\)

Вот так (ибо мы берём от начального значения заданную функцию n раз). Устремим n к бесконечности и предположим, что значение этого выражения равно t:

\(y(y(..y(x_{0})..))=t\)

А теперь хитрый трюк:

\(y({ y(..y(x_{0})..)})=t\)

\({y(y({ y(..y(x_{0})..)}))=t}\)

И в самом деле:

\(y({t})=t \)

Мы это смогли сделать только благодаря бесконечному числу членов. И к чему мы пришли?

\(\sqrt{{t}}=t\)

А это то же самое, что и  \(x=\sqrt{x}\)

Помните, я говорил, что координата по x следующей точки будет равна координате по y предыдущей. Это же как раз и показано на графике:

Посмотрите, мы сносим координату точки по y до точки, в которой x=y, и затем отражаем обратно на саму функцию в такую точку, где координата по x равна координате по y предыдущей.

Так можно изобразить последовательность графически.

3
Сегодня
День улёта